스토스 프로세스는 다른 방법으로, { X (t) } t {\표시 스타일 {X(t){{t에서 T}} ,[57] {X t} t {X_{t}}}{{{t에서 T}} [70] { X t} {N_{t}}} [79] { X (t) } } {디스플레이 스타일 {X(t)}} 또는 단순히 X {displaytyl e X} 또는 X (t) {디스플레이 스타일 X(t)} [80] 예를 들어, X ( t) {displaystyle X(t)} 또는 X t {displaystyle X_{t}}는 인덱스 t {displaystyle t}가 있는 임의의 변수를 참조하는 데 사용되며 전체 스토크 프로세스가 아닙니다. [79] 인덱스 집합이 T = [ 0 , ∞ ) {디스플레이 스타일 T=[0,infty)}인 경우, 예를 들어 (X t , t ≥ 0) {displaystyle (X_{t}, tgeq 0)}를 작성하여 스토컨 프로세스를 나타냅니다. [30] 레비 프로세스는 상태 공간이 바나흐 공간과 같은 추상적 수학적 공간이라는 것을 정의할 수 있지만, 유클리드 공간에서 값을 취하므로 프로세스가 종종 정의됩니다. 인덱스 집합은 음수가 아닌 숫자이므로 I = [ 0 , ∞ ) {디스플레이 스타일 I=[0,infty)}} 시간을 해석합니다. Wiener 프로세스, 균일한 푸아송 공정(한 차원) 및 종속공정과 같은 중요한 스토컨시 프로세스는 모두 Lévy 프로세스입니다. [50] [224] 다른 저자들은 포인트 프로세스를 검색 프로세스로 간주하며, 여기서 프로세스는 실제 선 또는 n {displaystyle n} -차원 유클리드 공간과 같이 정의된 기본 공간[d]의 집합에 의해 인덱싱됩니다. [236] [237] 리뉴얼 및 계수 프로세스와 같은 기타 스토크 프로세스는 포인트 프로세스 이론에서 연구됩니다. [238] [239] 두 개의 스토스 프로세스 {X t} {디스플레이 스타일 왼쪽{X_{t}}}}와 {Y t }{디스플레이 스타일 왼쪽{Y_{t}}} 그들의 교차 공분산 K X Y (t 1 , t 2) = E = ( ( X ( t 1 ) – μ X (t 1) ) ) ( Y ( t 2) – – μ Y (t 2) ) ) = { pty le 연산자 이름 {K} _{mathbf {X} mathbf {Y} }(t_{1}, t_{2})=연산자 {E} left_왼쪽(x_{1}))-mu _{X}(t_{1})오른쪽)왼쪽(Y(t_{2})-mu _{Y}(t_{2})오른쪽]}은 모든 시간에 대해 0입니다. [178] :p.

142 공식적으로: 콜모고로프의 책의 출판 후, 확률 이론과 확률 프로세스에 대한 추가 근본적인 작업은 힌친과 콜모고로프뿐만 아니라 조셉 두브, 윌리엄 펠러, 모리스 프레셰와 같은 다른 수학자에 의해 수행되었다, 폴 레비, 볼프강 도블린, 하랄드 크라메르. [250] [253] 수십 년 후 크라메르는 1930년대를 “수학적 확률 이론의 영웅적 시대”라고 불렀다. [253] 차 세계 대전은 크게 확률 이론의 개발을 중단, 원인, 예를 들어, 스웨덴에서 미국으로 펠러의 이동 [253] 그리고 도블린의 죽음, 지금 확률 프로세스의 선구자로 간주. [263] 덜 사용되지만 모든 스토스 프로세스에는 분리 가능한 버전이 있기 때문에 분리 가능성 가정이 더 일반적인 것으로 간주됩니다. [264] 스코로코드 공간에서 스토코드 공정을 구성할 수 없는 경우에도 사용된다. [173] 예를 들어, 임의의 변수의 수집이 n {displaystyle n} -dimension 유클리드 공간과 같은 실제 선 이외의 집합에 의해 인덱싱되는 임의의 필드를 생성하고 연구할 때 분리성이 가정됩니다. [31] [321] 랜덤 워크는 일반적으로 유클리드 공간에서 iid 랜덤 변수 또는 임의 벡터의 합으로 정의되는 연속적 프로세스이므로 이산 시간에 변경되는 프로세스입니다. [85] [86] [87] [88] [89] 그러나 일부는 또한 연속 시간에 변화 하는 프로세스를 참조 하는 용어를 사용,[90] 특히 금융에 사용 하는 Wiener 프로세스, 일부 혼란을 주도 하 고, 그것의 비판의 결과. [91] 그들의 상태 공간은 격자 및 그룹과 같은 다른 수학적 객체가 될 수 있도록 정의 된 임의의 산책의 다른 다양한 유형이 있으며, 일반적으로 그들은 매우 연구하고 다른 분야에서 많은 응용 프로그램을 가지고있다. [90] [92] 확률 프로세스 X : Ω → S T {디스플레이 스타일 X 콜론 오메가 오른쪽 화살표 S ^{T}} 확률 공간에 정의 된 (Ω , F , P) {디스플레이 스타일 (오메가, {mathcal {F},P}} , 확률 프로세스의 법칙 X {디스플레이 스타일 X} 위의 정류성의 정의와 함께 경층 과정은 때때로 엄격하게 고정이라고하지만, 다른 형태의 고정이있다.